Алгебраические числа: эквивалентные определения. Свойства минимального многочлена алгебраического числа (代数数：等价定义。代数数最小多项式的性质。).
$R$ — кольцо, $R[x]$ — кольцо всех многочленов от переменной $x$. Если $f(x)\in R[x]$ — ненулевой многочлен, то $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n,\ a_i\in\mathbb{R},\ a_n\neq0.$ $\alpha\in\mathbb{C}$ — алгебраическое, если существует ненулевой $f(x)\in\mathbb{Q}[x]:f(\alpha)=0$.
Свойства минимального многочлена алгебраического числа:
Мин. многочлен алг. чмсла неприводим в $\mathbb{Q}[x]$.
$\mu_\alpha(x)=g(x)h(x),\ \deg g,\deg h<\deg\mu_\alpha.$ $0=\mu_\alpha(\alpha)=g(\alpha)h(\alpha)\Rightarrow g(\alpha)=0$ или $h(\alpha)=0$. Противоречие с минимальностью $\mu_\alpha$.
Если $\alpha$ —алгебр $g(\alpha)=0$, то $g$ делится на $\mu_\alpha(x)$.
$g(x)=\mu_\alpha(x)\cdot q(x)+r(x),\ \deg r<\deg \mu_\alpha$.
$0=g(\alpha)=\mu_\alpha(\alpha)\cdot g(\alpha)+r(\alpha)=r(\alpha)\Rightarrow r(\alpha)=0$.
Унитарный неприводимый многочлен явл. минимальным многочленом для всех своих корней.
$\alpha$ —корень унитарного неприводимого многочлена $f(x)\in\mathbb{Q}[x]$. По (b) $f(x)$ делится на $\mu_\alpha(x)$ $\Rightarrow$ $f(x)=\mu_\alpha(x)\cdot c$. Так как $f$ и $\mu_\alpha$ — унитарны, то $c=1$ и $f(x)=\mu_\alpha(x).$
Все комплексные корни неприводимого многочлена различны.
$f(x)=(x-\beta)^k\cdot g(x), \ k\geq2,\ g(x)\in\mathbb{C}[x].$
$f(x)$ — неприв с корнем $\beta$ кратности $\geq2$.
$f^\prime(x)=(x-\beta)[k(x-\beta)^{k-2}g(x)+(x-\beta)^{k-1}g^\prime(x)]\Rightarrow\beta$ корень $f^\prime$, $1\leq\deg f^\prime<\deg f$, против с минимальностью $f$.
Поле алгебраических чисел, его алгебраическая замкнутость (代数数域及其代数闭包).
Множество всех чисел, алгебраических относительно поля $F$, называется полем алгебраических чисел над полем $F$.
Поле $F$ наз алгебраически замкнутым, если любой неконстантный многочлен $f(x)\in F[x]$ содержий корень из $F$. // ~ любой многочлен из $F[x]$ положительной степени раскладывается в произведения линейных множителей в $F[x]$.
Если $E$ — подполе в алгеб замкнутом поле $F$ , то алгебраическим замыканием поля $E$ в $F$ наз наим. алг. замкнутое поле $\overline{E}$ в $F$, содержащее $E$.
Лемма Гаусса. Эквивалентные определения целого алгебраического числа (高斯定理 代数整数的等价定义。).
Если $f(x),g(x)$ — примитивны, то $f(x)\cdot g(x)$ — тоже примитивный.
$\alpha \in\mathbb{A}$ наз. целым алгебраическим, если $\mu_\alpha(x)\in\mathbb{Z}[x]$. Мн-во всех алгеб чисел обозн $\mathbb A_\mathbb Z$.
Кольцо целых алгебраических чисел (代数整数环).
Множество всех алгебраических целых чисел. Это множество замкнуто относительно сложения и умножения, поэтому оно образует кольцо, называемое кольцом целых алгебраических чисел.
Теорема Дирихле о диофантовых приближениях. Порядок приближения иррациональных чисел (关于 Diophantine 近似的 Dirichlet 定理。无理数的近似阶).
$\forall\alpha\in\mathbb R, N\in\mathbb N, \exist p\in\mathbb Z,q\in\mathbb N:|\alpha-\frac p q|<\frac{1}{q\cdot N}$ и $q\leq N$.
Если $\alpha\in\mathbb R/\mathbb Q$, то $\alpha$ допускает диофю приближение порядка 2.
Теорема Лиувилля. Пример трансцендентного числа (刘维尔定理 超越数的一个例子).
$\alpha\in\mathbb A$, $\deg\alpha=n$. Тогда $\alpha$ не допускает диоф. приближения порядка $\upsilon>n$.
$\alpha=\sum\limits^\infty_{n=1}10^{-n!}$ явл трансцендентным.
Рассмотрим сумму $\sum\limits^\infty_{n=1}10^{-n!}=\frac{p_N}{10^{N!}}=\frac{p_N}{q_N}$. Тогда $|\alpha-\frac{p_N}{q_N}|=\sum\limits^\infty_{n=N+1}10^{-n!}=\frac{1}{10^{(N+1)!}}\underbrace{(1+\frac{1}{10^{(N+2)}}+\cdots)}_{<2}<\frac{2}{10^{(N+1)!}}=\frac{2}{(q_N)^{N+1}}$. Если $\upsilon>0$ и $N\geq\upsilon$, то $|\alpha-\frac{p_N}{q_N}|<\frac{2}{q_N^{N+1}}<\frac{2}{q_N^\upsilon}$, $\Rightarrow\alpha$ допускает диофантово приближения любого положительного порядка. По Th. Лиувилля $\alpha$ —трансцендентно.
Тождество Эрмита. Свойства многочлена $\frac{a_n^{(n-1)p}}{(p-1)!}x^{p-1}h(x)^p$ (埃米尔特恒等式).
Пусть $\alpha\in\mathbb C, \alpha\neq0$ и $f(z)\in\mathbb C[z], n=\deg f \geq1$. Определим $F(z)=\frac{f(z)}{\alpha}+\frac{f^\prime(z)}{\alpha^2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(z)}{\alpha^{n+1}}$. Тогда $\forall z_0\in\mathbb C\ \int^{z_0}_0f(z)e^{-\alpha z}dz=F(0)-F(z_0)e^{-\alpha z_0}$.
Пусть $h(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\in\mathbb Z[x],a_n\neq 0$, $\beta_1,\cdots,\beta_n$ — корни $h(x)$ из $\mathbb C$. Тогда $\forall p\in\mathbb N,p\geq2$ многочлен $f(x)=\frac{a_n^{(n-1)p}}{(p-1)!}x^{p-1}h(x)^p$, обладает свойствами:
Трансцендентность числа $e$ (超越数e).
Теорема 4.3
Сумма экспонент корней многочлена с рациональными коэффициентами (有理系数多项式根的指数之和).
Набор $(\beta_1,\dots,\beta_N)\in\mathbb C^N$ наз симметризованным, если $\prod\limits^N_{j=1}(x-\beta_j)\in\mathbb Q[x]$. Эквивалентно, что любой $\sigma_k(\beta_1,\dots,\beta_n)\in\mathbb Q,\forall 1\leq k\leq n$.
Пусть $(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ — симметризованный набор, $1\leq k\leq n$. Тогда существует симметриз набор $(\beta_1,\dots,\beta_N)$, где $N=\binom{n}{k}$, такой что $\sigma_k(e^{\alpha_1},\dots,e^{\alpha_n})=\sum\limits^N_{j=1}e^{\beta_j}$, $\sigma_k(e^{\alpha_1},\dots,e^{\alpha_n})=\sum\limits_{1\leq i_1<\cdots<i_k\leq n}e^{\alpha_{i_1}+\cdots+\alpha_{i_k}}$.
Теорема Линдеманна и трансцендентность числа $\pi$ (林德曼定理和数$\pi$的超越性).
$\alpha\in\mathbb A$. Тогда $e^\alpha\notin\mathbb Q_{<0}$.
$\pi$ — трансцендентно.
$\pi\in\mathbb A$. Тогда $\pi\cdot i\in\mathbb A, e^{i\pi}=-1\in\mathbb Q_{<0}$. Противоречия.
Эквивалентные формулировки асимптотического закона через функцию Чебышёва и интегральную функцию Чебышёва. Представление интегральной функции через функцию Мангольдта (通过切比雪夫函数和切比雪夫积分函数对渐近规律进行等效表述。通过曼戈尔德函数表示积分函数).
$\Psi(x)=\sum\limits_{m\in\mathbb N}\sum\limits_{p^m\leq x,p\in\mathbb P}\ln p$ — функция Чебышёва. $\widetilde{\Psi}(x)=\int_1^x\frac{\Psi(t)}{t}\mathrm{d}t$ — интегральная функция Чебышёва. $\Psi(x),\widetilde{\Psi}(x)$ — монотонно неубывающие функции.
$\pi(x)\sim\frac x {\ln x}\Leftrightarrow\Psi(x)\sim x$, $\widetilde{\Psi}(x)\sim x\Rightarrow\Psi(x)\sim x$.
Функция Чебышёва может быть записана как $\Psi(x)=\sum\limits_{n\leq x,n\in\mathbb N}\Lambda(n)$, где $\Lambda(n)=\begin{cases}\ln p,n=p^m,p\in\mathbb P,m\in\mathbb N \\0, otherwise\end{cases}$, $\Lambda(n)$ наз функцией Мангольдта.
$\forall x\geq 1$ выполнено $\widetilde{\Psi}(x)=\sum\limits_{n\leq x,n\in\mathbb N}\Lambda(n)\ln(\frac x n)$.
Представление мультипликативной функции в виде бесконечного произведения. Свёртка Дирихле. Формула обращения Мёбиуса (积性函数作为无穷积的表示。狄利克特卷积 莫比乌斯反转公式).
Функция $f:\mathbb N\rightarrow\mathbb C$ наз. арифметической. Если также выполнено $f(1)=1$ и $\forall$ взаимно простых $m,n$ верно $f(m\cdot n)=f(m)\cdot f(n)$, то $f$ наз. мультипликативной. Арифметическая функция $f$ наз. вполне мультипликативной, если $f(1)=1$ и $f(m\cdot n)=f(m)\cdot f(n),\forall m,n\in\mathbb N$.
Пусть $f$ — мультипликат функция. Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{f(n)}{n^z},z\in\mathbb C$ абсолютно сходится. Тогда $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{f(n)}{n^z}=\prod\limits_{p\in\mathbb P}(\sum\limits_{d=0}^\infty\frac{f(p^d)}{p^{dz}})$.
Свёрткой Дирихле арифметических функций $f$ и $g$ наз. арифметическая функция $h=f\circ g$, заданная по правилу $h(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)\cdot g(\frac{n}{d})$.
Если $f:\mathbb N\rightarrow\mathbb C$ — арифм. ф-я и $f\circ I=g$, то $g\circ \mu=f$.
Определение функции Римана в области $\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \Re z>1$, тождество Эйлера (区域$\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \Re z>1$中黎曼函数的定义 ，欧拉恒等式).
Ф-я $\xi$ заданная в области $\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \Re z>1$ как $\xi(z)=\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{1}{n^z}$ наз. функцией Римана.
В области $D=\{z\in\mathbb C|\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \Re z>1\}$, $\xi(z)=\prod\limits_{p\in\mathbb P}(\frac{1}{1-p^{-z}})$. В ччастности, у $\xi(z)$ нет нулей в $D$.
Представление логарифмической производной функции Римана в области $\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}\Re z>1$ в виде ряда Дирихле (在 $\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}\Re z>1$ 区域内黎曼函数的对数导数表示为狄利克特级数).
$\xi^{\prime}(z)=-\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\ln n}{n^z}$.
Если $\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \Re z>1$, то $\frac{\xi^{\prime}(z)}{\xi(z)}=-\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{\Lambda(n)}{n^z}$.
Выражение интегральной функции Чебышёва через функцию Римана (通过黎曼函数表达切比雪夫积分函数).
$\forall a>1,\forall x\geq 1, \widetilde{\Psi}(x)=\frac{1}{2\pi i }\int_{L_a}(-\frac{\xi^{\prime}(z)}{\xi(z)})\frac{x^z}{z^2}\mathrm{d}z$, где $L_a=\{z\in\mathbb C|\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}\Re z=a\}$.
Аналитическое продолжение функции Римана в область $\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}\Re z>0$: явная формула (黎曼函数在$\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}\Re z>0$区域内的解析延续：一个明确的公式).
$\widetilde{\xi}(z)=\sum\limits_{n=1}^N\frac{1}{n^z}+\frac{(N+\frac{1}{2})^{1-z}}{z-1}+z\cdot\int_{N+1/2}^\infty\frac{\rho(u)}{u^{z+1}}\mathrm{d}u$ аналитична при $\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}\Re z>0$, кроме $z=1$.
Отсутствие нулей функции Римана на прямой $\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}\Re z=1$ (直线 $\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}\Re z=1$上黎曼函数的零点不存在).
При $s>1$ и $t\in\mathbb R$. Выполнено $|\xi^3(s)\xi^4(s+it)\xi(s+2it)|\geq1$.
Ф-я Римана $\xi(z)$ не имеет нулей на прямой $\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}\Re z=1$.
Оценим $\xi(z)$ в открестности $z=1$. При $1<s<2$, $\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}\leq1+\int_1^\infty\frac{\mathrm{d}x}{x^s}=1+\frac{1}{s-1}\leq\frac{2}{s-1}$. Предположим $\xi(1+it)=0$ при $t\neq0$. Ф-я $\xi(z)$ аналитична в окрестности $z_0=1+it$, поэтому $\xi^{\prime}(z)$ ограничена в окрестности $z_0$. $\Rightarrow|\frac{\xi(s+it)-\xi(1+it)}{s-1}|\leq c\Rightarrow|\xi(s+it)|\leq c(s-1)$. $\xi(z)$ непрерывна на отрезке $s+2it$, $1\leq s\leq2$ $\Rightarrow|\xi(s+2it)|\leq M$. Оценим выражение: $A=|\xi^3(s)\cdot\xi^4(s+it)\cdot\xi(s+2it)|\leq(\frac{2}{s-1})^3\cdot(c(s-1))^4\cdot M =8c^4M(s-1)\xrightarrow[s\rightarrow1^+]{}0$, $A\geq1$ против.